pernyataan dan bukan pernyataan negasi, implikasi, tautologi dan kontradiksi

Fungsi Logika Matematika

FUNGSI LOGIKA MATEMATIKA

1. ( ( p ^ q ) v r ) ⊕ r

Dalam sebuah pulau terpencil hanya hidup dua jenis manusia, jenis pertama adalah kaum ksatria yang selalu mengatakan kebenaran, dan jenis kedua adalah kaum penjahat yang selalu mengatakan kebohongan. Suatu hari anda mengunjungi pulau tersebut dan berbicara dengan dua orang penduduknya.

X berkata: Y adalah seorang ksatria

Y berkata: X dan saya memiliki jenis yang berlawanan.

Jenis apakah X dan Y?

Jawaban:

Misalkan X adalah seorang ksatria, maka Y adalah ksatria (karena ucapan X adalah kejujuran), tetapi hal itu kontradiksi dengan apa yang dikatakan Y bahwa mereka memiliki jenis yang berlawanan. Jadi X tidak mungkin seorang ksatria.

Misalkan X adalah seorang penjahat, maka Y adalah penjahat (karena ucapan X adalah kebohongan) dan karena Y adalah seorang penjahat maka X dan Y memiliki jenis yang sama. Jadi dapat disimpulkan bahwa X dan Y keduanya adalah penjahat.

LOGIKA MATEMATIKA

A. Pernyataan

Kalimat ada 2 macam :

1.   Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.

Contoh : 3x + 5 = 10

1.   Kalimat tertutup ( pernyataan ) adalah kalimat yang dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.

Contoh : 5 + 6 = 11

B. Negasi , Disjungsi , Konjungsi , Implikasi , Biimplikasi

Negasi adalah ingkaran dari suatu pernyataan , jika sutau pernyataan bernila benar , maka ingkarannya bernilai salah, begitu pula jika pernyataan bernilai salah maka ingkarannya bernilai benar. Simbolnya : ~

Disjungsi adalah operasi logika “ atau “ symbol : V, suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata “atau’  akan bernilai salah, jika kedua pernyataanya bernilai salah. Sedangkan lainnya benar.

Konjungsi adalah operasi logika “ dan “ symbol : Λ , suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata “dan” akan bernilai benar Jika nilai kedua pernyataanya bernilai benar. Sedangkan lainnya salah.

Implikasi adalah operasi logika “ jika … maka…”, symbol : => , Suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan “jika..maka…” akan bernilai salah , jika pernyataan pertama bernilai benar dan pernyataan kedua bernilai salah. Sedang lainnya bernilai benar.

Biimplikasi adalah operasi logika “jika dan hanya jika” atau implikasi dua arah. Symbol  “ó” ,Suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan oleh “jika dan hanya jika’ akan bernilai benar jika kedua pernyataanya bernilai benar atau keduanya bernilai salah.

TABEL KEBENARAN

p	q	~ p	pVq	p Λq	p => q	pó q
B	B	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	S	S
S	B	B	B	S	B	S
S	S	B	S	S	B	B

C. TAUTOLOGI , KONTRADIKSI , DUA PERNYATAAN YANG EKUIVALEN

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya benar (“B”) semua..

Contoh : (pΛq) => q

Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya salah (“S”) semua.

Dua pernyataan majemuk disebut ekuivalen , jika mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Contoh :

~(pVq) ≡ ~p Λ ~q

~(p Λ q) ≡ ~p V ~q

~(p=>q) ≡ p Λ ~q

D. IMPLIKASI, KONVERSI , INVERSI , KONTRAPOSISI

Implikasi : p => q

Konversi : q => p

Inversi : ~p => ~q

Kontraposisi : ~q => ~p

Contoh :

Implikasi : Jika saya ke Bandung , maka saya membeli sepatu.

Konversi : Jika saya membeli sepatu , maka saya ke Bandung.

Inversi : Jika saya tidak ke Bandung, maka saya tidak membeli sepatu.

Kontraposisi : Jika saya tidak membeli sepatu, maka saya tidak ke Bandung.

E. PENARIKAN KESIMPULAN

Premis 2 : p

Konklusi : q

Premis 2 : ~ q

Konklusi : ~ p

Premis 2 : q => r

Konlusi : p=>r

Contoh :

1. Modus ponen

Premis 1 : Jika hujan turun, maka halaman basah.

Premis 2 : Hari ini hujan turun

Kesmpulan : Hari ini halaman basah.

2.Modus Tollens

Premis 1 : Jika makan cabe , maka terasa pedas.

Premis 2 : Tidak merasa pedas.

Kesimpulan : Tidak makan cabe.

3.Silogisme

Premis 1 : Jika berenang pagi , maka akan kedinginan.

Premis 2 : Jika kedinginan , maka akan minum kopi panas.

Kesimpulan : Jika berenang pagi, maka akan minum kopi panas.

SOAL

A.Buktikan bahwa proposisi berikut “TAUTOLOGI” !!

{(pvq)⇒r } ⇔{ (p⇒r)∧(q⇒r) }

{p⇒(q∧r) }⇔{(p⇒q)∧(p⇒r) }

{(p∧q)⇒r}⇔{(p∧ ∼r)⇒∼q)

{(p∧q)⇒r}⇔{(p⇒r) v (q⇒r)}

(p⇒r)⇒{(p∧q)⇒r}∧{p⇒(q∧r) }⇒(p⇒q)

B.Tentukan Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Proposisi berikut,Kemudian tentukan kebenarannya!

Jika x=5 , Maka x^2=25

Jika x^2 bilangan asli, Maka x bilangan asli

Jika ∆ABC sama kaki, Maka ∠A= ∠C

Jawaban

A.Pembuktian “TAUTOLOGI”

{(pvq)⇒r } ⇔{ (p⇒r)∧(q⇒r) }

Jawab :

p q r { ( p v q ) ⇒ r } ⇔ { ( p ⇒r ) ∧ (q ⇒ r ) }

B B B B B B B B B

B B S B S B S S S

B S B B B B B B B

B S S B S B S S B

S B B B B B B B B

S B S B S B B S S

S S B S B B B B B

S S S S B B B B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

{p⇒(q∧r) }⇔{(p⇒q)∧(p⇒r) }

Jawab :

p q r { p ⇒ (q ∧ r) } ⇔ { (p ⇒ q) ∧ ( p ⇒r ) }

B B B B B B B B B

B B S S S B B S S

B S B S S B S S B

B S S S S B S S S

S B B B B B B B B

S B S B S B B B B

S S B B S B B B B

S S S B S B B B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

{(p∧q)⇒r}⇔{(p∧ ∼r)⇒∼q)}

Jawab :

p q r ∼q ∼r { (p ∧ q ) ⇒ r } ⇔ { (p ∧ ∼r) ⇒∼q )}

B B B S S B B B S B

B B S S B B S B B S

B S B B S S B B S B

B S S B B S B B B B

S B B S S S B B S B

S B S S B S B B S B

S S B B S S B B S B

S S S B B S B B S B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

{(p∧q)⇒r}⇔{(p⇒r) v (q⇒r) }

Jawab :

p q r {(p ∧ q ) ⇒r } ⇔ {(p ⇒ r) v (q ⇒ r )}

B B B B B B B B B

B B S B S B S S S

B S B S B B B B B

B S S S B B S B B

S B B S B B B B B

S B S S B B B B S

S S B S B B B B B

S S S S B B B B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

(p⇒r)⇒{(p∧q)⇒r}∧{p⇒(q∧r) }⇒(p⇒q)

Jawab :

p q r (p⇒r) ⇒ { (p∧q) ⇒ r } ∧ { p ⇒ (q∧r)} ⇒ (p ⇒ q)

B B B B B B B B B B B B

B B S S B B S B S S B B

B S B B B S B B B S B S

B S S S B S B B B S B S

S B B B B S B B B B B B

S B S B B S B B B S B B

S S B B B S B B B S B B

S S S B B S B B B S B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

Jawaban

B.Konvers, Invers, Kontraposisi dan Tabel Kebenaran

Jika x=5 , Maka x^2=25

Jawab :

p : x =5

q : x^2=25

konvers (q ⇒p)

Jika x^2=25 , maka x=5

Invers (∼p⇒∼q)

Jika x≠5 , maka x^2≠25

Kontraposisi (∼q⇒∼p)

Jika x^2≠25 , maka x≠5

Negasi (p∧∼q)

x=5 , akan tetapi x^2≠25

Tabel Kebenaran

p q ∼p ∼q Implikasi

( p⇒q) Konvers

(q ⇒p) Invers

(∼p⇒∼q) Kontraposisi

(∼q⇒∼p) Negasi

(p∧∼q)

B B S S B B B B S

B S S B S B B S B

S B B S B S S B S

S S B B B B B B s

Jika x^2 bilangan asli, Maka x bilangan asli

Jawab :

p : x^2 bilangan asli

q : x bilangan asli

konvers (q ⇒p)

Jika x bilangan asli, maka x^2 bilangan asli

Invers (∼p⇒∼q)

Jika x^2 bukan bilangan asli , maka x bukan bilangan asli

Kontraposisi (∼q⇒∼p)

Jika x bukan bilangan asli, maka x^2 bukan bilangan asli

Negasi (p∧∼q)

x^2 bilangan asli, akan tetapi x bukan bilangan asli

Tabel Kebenaran

p q ∼p ∼q Implikasi

( p⇒q) Konvers

(q ⇒p) Invers

(∼p⇒∼q) Kontraposisi

(∼q⇒∼p) Negasi

(p∧∼q)

B B S S B B B B S

B S S B S B B S B

S B B S B S S B S

S S B B B B B B s

Jika ∆ ABC sama kaki, Maka ∠A= ∠C

Jawab :

p : ∆ ABC sama kaki

q : ∠A= ∠C

konvers (q ⇒p)

Jika ∠A= ∠C, maka ∆ ABC sama kaki

Invers (∼p⇒∼q)

Jika ∆ ABC bukan sama kaki , maka ∠A ≠∠C

Kontraposisi (∼q⇒∼p)

Jika ∠A ≠∠C, maka ∆ ABC bukan sama kaki

Negasi (p∧∼q)

∆ ABC sama kaki, akan tetapi ∠A ≠∠C

Tabel Kebenaran

p q ∼p ∼q Implikasi

( p⇒q) Konvers

(q ⇒p) Invers

(∼p⇒∼q) Kontraposisi

(∼q⇒∼p) Negasi

(p∧∼q)

B B S S B B B B S

B S S B S B B S B

S B B S B S S B S

S S B B B B B B s

Fungsi dan menentukan domain, kodomain dan range

FUNGSI, DOMAIN, KODOMAIN, DAN RANGE

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagaidomain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

1. Pengertian Domain, Kodomain, Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “

Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :

a. Diagram Panah

b. Diagram Cartesius

c. Himpunan pasangan berurutan.

Jawab:

c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4),

(4, 8),(6, 6)}

2). Domain, Kodomain  dan Range

Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan  B disebut Kodomain (daerah kawan) dan  semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).

Contoh 3 :

Tuliskan Domain, Kodomain dan Range dari relasi Contoh 2 di atas :

Jawab:

Domain = {2, 4, 6}

Kodomain = {2, 4, 6, 8, 10, 11}

Range = { 2, 4, 6, 8, 10}

Contoh 4

Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:

Jawab:

a. Domain = { 3, 5 }

Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}

Range = { 1, 2, 8}

b. Domain = { 3, 5, 7, 8}

Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}

Range = { {1, 2, 3, 4, 7, 8}

Soal-soal tentang relasi komposisi dan relasi komposisi invers

FUNGSI KOMPOSISI & FUNGSI INVERS

1.1 Relasi 
Misal A dan B adalah himpunan. Jika anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka akan terdapat suatu relasi A dan B. Relasi tersebut dapat dinyatakan dengan R : A B 

Contoh
A = { 1, 2, 3, 4 } dan = { 1, 2, …. 6 }
Misal relasi dari A ke B adalah searah dari, maka relasi tersebut dapat digambarkan seperti digambarkan diagram disamping.

1.2 Fungsi atau Pemetaan
Suatu relasi dari A ke B yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota kecil. Misalnya f adalah fungsi dari A ke B, fungsi ini ditulis dengan f : A  B. Dalam hal ini A disebut Domain ( daerah asal dan B disebut Kodomain (daerah kawan).
Jika f memetakan  maka dapat dinyatakan bahwa y adalah peta dari x dan hal ini dapat dituliskan dengan f : xy atau y = f (x). Himpunan  yang merupakan peta dari  disebut range atau daerah hasil.

 1.3 Komposisi Fungsi
Penggabungan operasi dan fungsi secara berurutan akan menghasilkan sebuah fungsi baru. Penggabungan tersebut disebut komposisi fungsi dan hasilnya disebut fungsi komposisi. Perhatikan diagram berikut! 

Pada diagram di atas fungsi f di komposisikan sebagai fungsi g yang mengahasilkan fungsi h . h adalah fungsi komposisi dari t dan g dinotasikan dengan  



1.4 Invers Fungsi 
Misal fungsi f : A  B maka invers fungsi f dinyatakan dengan Jika y = f (x) maka  

Contoh : 
Tentukan invers fungsi 
a. f (x) = 2 x + 6 
misalnya : 
y = 2x +6 
 2x = y-6  
Dengan demikian :  

Cara lain : 
 


1.5 Invers fungsi Komposisi Misal fungsi f : A  B dan g : B  C. Jika h adalah fungsi komposisi dari f atau g . dengan  maka invers fungsi fungsi h adalah  dengan  jadi jika  maka